calculo diferencial

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,

f’(x) = 12×2 +18x – 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,

f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,

f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.

El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,

f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , además

es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

TABLA DE DERIVADAS

DERIVADAS IMPLÍCITAS, FORMULAS.

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Una correspondencia o una función esta definida en forma implícita cuando no aparece despejada la "y", sino que la relación entre "x", e "y", viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos

Derivar las funciones:

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo

DERIVADAS, CONCEPTOS Y PROPIEDADES

CONCEPTO DE DERIVADA

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función

f\,

es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de

f\,

x\,

. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:

(x,f(x))\,

. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente.

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

Derivada de potencias: si

f(x) = x^r,\,

donde r es cualquier número real, entonces

f'(x) = rx^{r-1},\,

donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si

f(x) = x^{1/4}

, entonces

f'(x) = (1/4)x^{-3/4},\,

y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).

ejercicios de derivación

Funciones exponenciales y logarítmicas:

\frac{d}{dx}e^x = e^x.

\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x.

\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.

\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}.

funciones trigonométricas:

\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).

\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).

\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x).

Funciones trigonométricas inversas:

\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

\frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

\frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}.

Reglas prácticas de derivación

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

f' = 0. \,

Regla de la suma:

(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,

para toda función f y g y todo número real $\alpha$ y $\beta$ .

Regla del producto:

(fg)' = f 'g + fg' \,

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,

\frac{d}{dr}\pi r^2=2 \pi r. \,

Regla del cociente:

\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

Regla de la cadena: Si

f(x) = h(g(x))

, siendo que derivable en "x", y "h" derivable en g(x), entonces.

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,

Ejemplo de cálculo

La derivada de

f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,

\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x², x⁴, sin(x), ln(x) y exp(x) = e^x, así como la constante 7, también fueron usadas