aplicaciones de las derivadas

Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.   f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos. Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.	Ejemplo Sea f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. Aquí es su gráfica. Mirando la gráfica, se observa que f tiene: Un máximo relativo a (0, 0); Un mínimo relativo a (1, - 1); Un máximo relativo a (4, 8). Inicio de página
Extremos absolutosExtremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos. Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.	Ejemplo Sea otra vez f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. Mirando a sus extremos relativos, observamos que: El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto; El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto; El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto. Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página
Ubicando candidatos al extremos relativosSi f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos: Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x dondef'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen. La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos. ¿Todavía incómodo con esta materia? Pruebe la tutorial en línea sobre máximos y mínimos.	Ejemplos1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. El máximo relativo a (0, 0) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores       El mínimo absoluto a (1, - 1) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores       El máximo absoluto a (4, 8) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores .        Mas Ejemplos Puntos estacionados: Sea f(x) = x3 - 12x. Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos 3x2- 12 = 0, entonces x = ±2 son los puntos estacionados. Puntos singulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3. Entonces f'(x) = (x- 1)- 2/3 = 1/(x- 1)2/3. f'(x) no está definida a x = 1, auque f(x) sí está definida a x = 1. Entonces, el (solo) punto singular es x = 1. Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0)  [1, +∞). Entonces el único punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, el dominio natural de 1/x no tiene puntos extremos. Nota Si cambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página
Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimizaciónSolucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . . Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objectivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objectivo.) Especiíicamente: 1. Identifique la o los incógnitas. Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema. 2. Identifique la función objectivo.  Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar. 3. Identifique la o los restricciones. Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables. 4. Enuncie el problema de optimización. Ésta tendré la forma "Maximize [o minimize] la función objectivo sujeta a la o los restricciones." 5. Elimine variables adicionales. Si la función objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objectivo. 6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo. Aplique las técnicas descritas más arriba.	EjemploAquí es un problema de maximización: Maximize A = xy Función objectivo sujeta a x + 2y = 100, x ≥ 0,   y y ≥ 0 Restricciones Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5. 5. Elimine variables adicionales. Podemos hacerlo tomando la ecuación de restricción x + 2y = 100 y despejamos a x (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la función objectivo y también en la desigualdad que involucra x: A = xy = (100- 2y)y = 100y - 2y2 (100- 2y) ≥ 0,   o   y ≤ 50. Entonces, solo falta maximizar A = 100y - 2y2 sujeta a 0 ≤ y ≤ 50.6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo. Siguiendo el procedimiento más arriba, obtenemos dos puntos extremos y un punto estacionario con valores como sigue: y 0 25 50 A(y) 0 1,250 0 Tipo Punto extremo Punto estacionario Punto extremo Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25. Inicio de página
Aceleración, concavidad, y la derivada segundaAceleración La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición. Concavidad Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.	EjemplosAceleración Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces: Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora. Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora. Concavidad Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo. f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0. Inicio de página
Análisis de las gráficasPodemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes: Características de una gráfica 1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0. 2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos. 3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx →a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f. 5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando xse aleja hacia la izquierda y la derecha. Si tiene usted Excel, pruebe la Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada para ver gráficas de cualquier función y sus primeras dos derivadas.	EjemploAquí está la gráfica de f(x) = x2 (x+1)(x- 2) Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: 1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualando x = 0 y despejando a yda y = 0: la intercesión de y. 2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x =- 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9). 3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando xse acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica: x lim → -1- f(x) = +∞ x lim → -1+ f(x) = -∞ x lim → 2- f(x) = -∞ x lim → 2+ f(x) = +∞ 5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que x lim → - ∞ f(x) = 1 x lim → +∞ f(x) = 1. Inicio de página
Tasas relacionadasSi Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un típicoproblema de tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado los razones de cambio de varias otras cantidades. Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas A. La problema Haga una lista de las cantidades relacionadas que cambian. Reformule el problema en términos de tasas de cambio. Reescriba el problema usando notación matemática para las cantidades que cambian y sus derivadas. B. La relación Trace un diagrama, si sea apropiado, que demuestra las cantidades que cambian. De un ecuación o ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las cantidades para obtener la o las ecuación(es) derivadas, que relacionan las rezones de cambio de las cantidades. C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca. Mire también la tutorial en línea de tasas relacionadas.	EjemploEl tráfico al sitio web de MundoReal es dado por h = - 0.001p2 + 400     peticiones al día, donde p es el número de problemas difícil al sitio. Hay ahora 100 problemas difícil al sitio, y este número esta creciendo con una tasa de 10 problemas al día. ¿Con qué razón disminuye al tráfico al sitio MundoReal? A. La problema Las cantidades relacionadas que cambian son h y p. La problema se puede reformular matemáticamente como sigue: Calcule   Selecione uno h p dh/dt dp/dt ninguno de los anteriores  cuando   Selecione uno h = 100 p = 100 dh/dt = 100 dp/dt = 100 ninguno de los anteriores  y   Selecione uno h = 10 p = 10 dh/dt = 10 dp/dt = 10 ninguno de los anteriores  B. La relación Aquí no es apropiado un diagrama. Ecuaciones que relaciona las cantidades que cambian:       h = - 0.001p2 + 400 Tome la derivada respecto al tiempo de la ecuación que relaciona las cantidades (con la regla de la cadena):     dh dt = - 0.002p dp dt C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca.     dh dt = - 0.002(100)(10) = - 2 Entonces, el tráfico al sitio MundoReal está disminuyendo a una tasa de 2 peticiones al día cada día. Inicio de página
Elasticidad de demandaLa elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula: E = - dq dp . p q . donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario, p. Decimos que la demanda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1. Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función de p, conjunctamos E = 1, y despejemos a p.	EjemploSupone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces E = - (- 2) p 20,000- 2p = p 10,000- p Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio. Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio. Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio.