Tipos de Funciones, Mapa Conceptual.

mapa conceptual

ejercicios de intervalos

ejercicios:

ejercicios de valor absoluto

valor absoluto y sus propiedades

Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1


Demostración



Hay dos posibles casos:
Caso 1: 



Caso 2: 


Propiedad 2
Si 

Subconjunto de numeros reales a travez de intervalos

Subconjunto de números reales(intervalos)

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cuales quiera de sus elementos.

Geométrica mente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semis abiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

<------|---|---(///|///|///]------------->
-∞     -1    0    1   2    3   4                +∞

Intervalo cerrado

Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] := { x / a ≤ x ≤ b }

Intervalo abierto

Es el conjunto de los numeros reales comprendidos entre a y b.

El intervalo abierto con extremos a, b con a < b es (a, b) := { x / a < x < b } . 

Intervalo semi abierto por la izquierda

Es el conjunto de todos  los números reales mayores  que a y menores iguales que b.

(b, a] := { x /a<x ≤ a} 

Intervalo semi cerrado por la derecha

Es el conjunto de todos los números reales, mayores iguales que a y menores que b.

[ b, a) := { x /a≤x < b} 

Intervalos Infinitos

Al conjunto  de todos los numeros reales  de la variable x, tal es que x es mayor que a, se representan por; ( a , ∞+ )

Al conjunto de todos los números reales de la variable x, es menor  que b, se representa (-∞,b).

Tabla del resumen de la notación de intervalos  con representación gráfica

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )

Propiedades de los Números Reales

Leyes asociativas

Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números

 (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.

(a + b) + c  =  a + (b + c)

(a × b) × c  =  a × (b × c)

Ejemplos:

Esto:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
da el mismo resultado que esto:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Esto:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
da el mismo resultado que esto:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Usos:

A veces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:

¿Cuánto es 19 + 36 + 4?

19 + 36 + 4  =  19 + (36 + 4)  =  19 + 40 = 59

O si los reordenamos un poco (fíjate que aquí usamos también la ley conmutativa para eso):

¿Cuánto es 2 × 16 × 5?

2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  =  10 × 16 = 160

Ley distributiva

La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado.

Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:

• sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
• haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados

Así:

(a + b) × c  =  a × c  +  b × c

Ejemplos:

Esto:	(2 + 4) × 5  =  6 × 5  =  30
da el mismo resultado que esto:	2×5 + 4×5  =  10 + 20  =  30

Esto:	(6 - 4) × 3  =  2 × 3  =  6
da el mismo resultado que esto:	6×3 - 4×3  =  18 - 12  =  6

Usos:

A veces es más fácil si rompemos una multiplicación difícil:

¿Cuánto es 204 × 6?

204 × 6  =  200×6 + 4×6  =  1,200 + 24  =  1,224

O para combinar:

¿Cuánto es 6 × 16 + 4 × 16?

6 × 16 + 4 × 16  =  (6+4) × 16  =  10 × 16  =  160

Neutro

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

                                                                                  

EJERCICIOS:

a) 5+0= 5

b) 21+0= 21

c)12*1=12

d) 40+0=40

e) 78*1=78

Inverso

Es el numero igual al 1 como por ejemplo

a*1/a=1    o        a=1*a     o     a/a=a*1/a=1      o      1/a=a^-1=1

todo esto se puede aser por ejemplo un ejercisio a continuacion:

a) 17/17=1    o   17*1/17=1   o   17*17^-1=1

b) 43*1/43= 1   o     43/43=1     o   43*43^-1=1

c) 90^4*1/90^4=1       o     90^4*90^-4=1

Opuesto 

Lo opuesto es una propiedad de numeros reales. para un numero real albitrario a,  lo opuesto de a, es -a. esto es porque  a-a= 0, donde 0 esta el elemento neutro de la suma para los numeros reales.

ejemplos:

Lo opuesto de 5 es ^-5 desde 5 + ^-5 = 0.
Lo opuesto de ^-5 es 5 desde ^-5 + 5 = 0.
Lo opuesto de ^-3 es 3 desde ^-3 + 3 = 0.
Lo opuesto de 3 es ^-3 desde 3 + ^-3 = 0.
Lo opuesto de x es ^-x desde x + ^-x = 0.
Lo opuesto de ^-p es p desde ^-p + p = 0.

Tricotonomia 

Tricotonomia de los números reales indica que, para cualquiera de los dos números reales  a y b, uno de los siguientes es exactamente la verdad:

a<b, a=b, a>b

para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricotoma  si para todo el X y Y en A exactamente una de:

xRy, x=y, yRx

una relación tricotoma no es simétrica, no es reflexivo, si no es transitiva.

Igualdad

Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.

ECUACION

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. 

Por ejemplo:  3x – 5 = 6x +1

 

MIEMBROS DE LA ECUACIÓN 

  3x – 5 = 2x – 3 

Primer miembro: se encuentra en la parte izquierda del signo =. 

Segundo miembro: se encuentra en la parte derecha del signo =.

   

TÉRMINOS 

Son cada una de las cantidades que están conectadas con otros por el signo + o -.

   

GRADO 

Si la ecuación tiene una incógnita, el grado es el mayor exponente que tiene la incógnita.

    

DESIGUALDADES 

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.  3x – 5 < 2x – 3

 

SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD 

Resolver una desigualdad significa encontrar todas las soluciones.

 

SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD 

Resolver una desigualdad significa encontrar todas las soluciones. 

Dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. 

La mayor parte de las desigualdades tiene un infinito número de soluciones. 

Las Leyes Conmutativas 

Las leyes conmutativas establecen que el orden en el cual sume o multiplique 

dos numeros reales no afecta el resultado.

La Ley Conmutativa de la suma:

a + b = b + a

ejercicios:  

a) 7*21=147

    21*7=147

b) 2/7*9/5=18/35

    9/5*2/7=18/35

c) 3+4=7

    4+3=7

d) 5+6=11

     6+5=11

Ejemplo:

3 + 5 = 5 + 3 = 8

20 + (–3) = (–3) + 20 = 17

La Ley Conmutativa de la multiplicación:

ab = ba

Ejemplo:

4 · 5 = 5 · 4 = 20

(–2)(8) = (8)(–2) = –16

Recta Numerica

Recta Numérica:

Una recta numérica es a aquella que se pueden representar todos los números reales, marcados (0) en el medio, negativos a la izquierda, positivos a la derecha.

Propiedades de los números Reales:

•a = b si y sólo si  a – b= 0 

•a<b   si y sólo si  a – b< 0 

•a>b   si y sólo si  a – b> 0

EJERCICIOS: 

primera propiedad si         a = b si y sólo si  a – b= 0 

a=5 , b= 5        a=b         5-5=0       0=0   

segunda propiedad si         a<b   si y sólo si  a – b< 0 

a=3 , b=9         a<b         3-9<0      -6<0

tercera propiedad               a>b   si y sólo si  a – b> 0

a=34 , b=27     a>b        34-27>0    7>0

números reales

Números reales:

los números reales son todos aquellos números que se pueden representar en una recta numérica, dentro de ellas se encuentran los siguientes números:

NÚMEROS RACIONALES: Son números que resultan de la divicion de los números enteros o pueden ser los números fraccionarios.

Q= { a/b, tal que a y b son enteros},  

  donde b≠ 0 .

•NÚMEROS IRRACIONALES: Son números  que no pueden expresarse como un cociente de dos enteros. 

 I= {x, tal que x no se puede representar como racional}. Por ejemplo:   π,  √2.

En los números reales se encuentran los:

•NÚMEROS ENTEROS: Son los números positivos, negativos y el cero. 

 Z= {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}  

   

•NÚMEROS NATURALES: Son los números para contar. 

 N= {1, 2, 3, 4, 5…}