MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos


Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos



La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto critico minimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.
Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.
Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.
Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.

PROBLEMAS

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos


Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos



La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto critico minimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.
Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.
Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.
Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.

PROBLEMAS

Teorema de "rolle"

En cálculo diferencial,  el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.


En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).

En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:
Caso 1. El punto máximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Caso 2. El punto mínimo es igual a f(a) y f(b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f(c₂) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c₁) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c₁) = 0 y f '(c₂) = 0.

pendiente de una tangente de una curva

La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.

El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos.

La recta y=m⋅x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos:

1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a))
2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f′(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:

y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)

Nota: Siempre se encontraran tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.

Además, la recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.

Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de la parábola azul representa la velocidad instantánea.

Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto.

El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que es adelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante

EJERCICIOS

aplicaciones de las derivadas

Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.   f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos. Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.	Ejemplo Sea f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. Aquí es su gráfica. Mirando la gráfica, se observa que f tiene: Un máximo relativo a (0, 0); Un mínimo relativo a (1, - 1); Un máximo relativo a (4, 8). Inicio de página
Extremos absolutosExtremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos. Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.	Ejemplo Sea otra vez f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. Mirando a sus extremos relativos, observamos que: El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto; El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto; El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto. Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página
Ubicando candidatos al extremos relativosSi f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos: Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x dondef'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen. La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos. ¿Todavía incómodo con esta materia? Pruebe la tutorial en línea sobre máximos y mínimos.	Ejemplos1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4]. El máximo relativo a (0, 0) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores       El mínimo absoluto a (1, - 1) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores       El máximo absoluto a (4, 8) es un   Selecione uno punto estacionario punto singular punto extremo ninguno de los anteriores .        Mas Ejemplos Puntos estacionados: Sea f(x) = x3 - 12x. Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos 3x2- 12 = 0, entonces x = ±2 son los puntos estacionados. Puntos singulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3. Entonces f'(x) = (x- 1)- 2/3 = 1/(x- 1)2/3. f'(x) no está definida a x = 1, auque f(x) sí está definida a x = 1. Entonces, el (solo) punto singular es x = 1. Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0)  [1, +∞). Entonces el único punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, el dominio natural de 1/x no tiene puntos extremos. Nota Si cambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página
Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimizaciónSolucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . . Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objectivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objectivo.) Especiíicamente: 1. Identifique la o los incógnitas. Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema. 2. Identifique la función objectivo.  Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar. 3. Identifique la o los restricciones. Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables. 4. Enuncie el problema de optimización. Ésta tendré la forma "Maximize [o minimize] la función objectivo sujeta a la o los restricciones." 5. Elimine variables adicionales. Si la función objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objectivo. 6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo. Aplique las técnicas descritas más arriba.	EjemploAquí es un problema de maximización: Maximize A = xy Función objectivo sujeta a x + 2y = 100, x ≥ 0,   y y ≥ 0 Restricciones Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5. 5. Elimine variables adicionales. Podemos hacerlo tomando la ecuación de restricción x + 2y = 100 y despejamos a x (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la función objectivo y también en la desigualdad que involucra x: A = xy = (100- 2y)y = 100y - 2y2 (100- 2y) ≥ 0,   o   y ≤ 50. Entonces, solo falta maximizar A = 100y - 2y2 sujeta a 0 ≤ y ≤ 50.6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo. Siguiendo el procedimiento más arriba, obtenemos dos puntos extremos y un punto estacionario con valores como sigue: y 0 25 50 A(y) 0 1,250 0 Tipo Punto extremo Punto estacionario Punto extremo Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25. Inicio de página
Aceleración, concavidad, y la derivada segundaAceleración La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición. Concavidad Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.	EjemplosAceleración Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces: Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora. Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora. Concavidad Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo. f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0. Inicio de página
Análisis de las gráficasPodemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes: Características de una gráfica 1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0. 2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos. 3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx →a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f. 5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando xse aleja hacia la izquierda y la derecha. Si tiene usted Excel, pruebe la Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada para ver gráficas de cualquier función y sus primeras dos derivadas.	EjemploAquí está la gráfica de f(x) = x2 (x+1)(x- 2) Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: 1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualando x = 0 y despejando a yda y = 0: la intercesión de y. 2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x =- 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9). 3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando xse acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica: x lim → -1- f(x) = +∞ x lim → -1+ f(x) = -∞ x lim → 2- f(x) = -∞ x lim → 2+ f(x) = +∞ 5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que x lim → - ∞ f(x) = 1 x lim → +∞ f(x) = 1. Inicio de página
Tasas relacionadasSi Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un típicoproblema de tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado los razones de cambio de varias otras cantidades. Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas A. La problema Haga una lista de las cantidades relacionadas que cambian. Reformule el problema en términos de tasas de cambio. Reescriba el problema usando notación matemática para las cantidades que cambian y sus derivadas. B. La relación Trace un diagrama, si sea apropiado, que demuestra las cantidades que cambian. De un ecuación o ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las cantidades para obtener la o las ecuación(es) derivadas, que relacionan las rezones de cambio de las cantidades. C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca. Mire también la tutorial en línea de tasas relacionadas.	EjemploEl tráfico al sitio web de MundoReal es dado por h = - 0.001p2 + 400     peticiones al día, donde p es el número de problemas difícil al sitio. Hay ahora 100 problemas difícil al sitio, y este número esta creciendo con una tasa de 10 problemas al día. ¿Con qué razón disminuye al tráfico al sitio MundoReal? A. La problema Las cantidades relacionadas que cambian son h y p. La problema se puede reformular matemáticamente como sigue: Calcule   Selecione uno h p dh/dt dp/dt ninguno de los anteriores  cuando   Selecione uno h = 100 p = 100 dh/dt = 100 dp/dt = 100 ninguno de los anteriores  y   Selecione uno h = 10 p = 10 dh/dt = 10 dp/dt = 10 ninguno de los anteriores  B. La relación Aquí no es apropiado un diagrama. Ecuaciones que relaciona las cantidades que cambian:       h = - 0.001p2 + 400 Tome la derivada respecto al tiempo de la ecuación que relaciona las cantidades (con la regla de la cadena):     dh dt = - 0.002p dp dt C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca.     dh dt = - 0.002(100)(10) = - 2 Entonces, el tráfico al sitio MundoReal está disminuyendo a una tasa de 2 peticiones al día cada día. Inicio de página
Elasticidad de demandaLa elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula: E = - dq dp . p q . donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario, p. Decimos que la demanda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1. Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función de p, conjunctamos E = 1, y despejemos a p.	EjemploSupone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces E = - (- 2) p 20,000- 2p = p 10,000- p Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio. Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio. Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio.